中学数学中的几个渐近线问题及处理对策

2013年2月27日

《中学数学》2012年高中版第5期

中学数学中的几个渐近线问题及处理对策

江苏省昆山中学戈峰

中学教材中出现“渐近线”这个概念是在“双曲线的简单性质”这节中，概括为：曲线上的动点沿着曲线从某个方向向外延伸时，动点与某条直线无限地接近，但永远不相交，那么称此直线为曲线的渐近线（渗透极限思想）．中学数学的许多函数图像和曲线都有渐近线，例如教材中涉及到的初等函数反比例函数、指对数函数、正余切函数等．学生在学习过程中若能领会渐近线的内涵，就能对掌握某些函数的形状、位置、大小等有很大的帮助．本文对中学数学中有渐近线的另一些函数进行讨论，并对处理有渐近线的函数问题提供几种策略．

１分类讨论

除了教材中我们比较熟悉的反比例函数、指对数函数、正余切函数图像有渐近线外，我们经常碰到图像有渐近线的函数主要有分式函数型与超越函数型．

1．１分式函数型

（１）函数

（２）函数

（３）函数 （分子分母不含公因式）

（４）函数 （分子分母不含公因式）

（５）函数 （分子分母不含公因式）

１．２超越函数型

（１）函数

（２）函数

２应对策略

２．１思想重视

例１：若函数 的图像与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围．

分析：画出图像如图 ，图像的渐近线为 ，要求 与 有两个交点，所以 ．

２．２取倒数

例２：已知函数 ，如果关于 的方程 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围

２．３换元

例３：讨论方程 的解的情况．

分析１：当 时，方程的解为 ；当 时，讨论情况比较复杂．（略）

函数中的渐近线问题是学生在学习函数时比较容易忽视的，本文针对此问题列举了几类常见函数的渐近线和处理策略．教材中对于渐近线问题也没有详细讲述，因此笔者呼吁：让渐近线走进我们的数学教学吧！