在反思中提高
在反思中提高
——一则高中反思型教学实例及反思
李小峰(江苏昆山震川高级中学215300)
在波利亚的《怎样解题》中列出了解题的四个阶段：第一是弄清问题，第二是拟定计划，第三是实施计划，第四是解题回顾.其中第四个步骤，也就是我们俗称的解题反思，是整个解题过程的升华，在这个阶段中，既可以确保正确解决已知问题，亦可以为将来解决新问题奠定基础，所以笔者认为：解题反思不仅可以培养学生缜密的解题习惯，还可以培养学生良好的思维品质.
一、教学实例
原题：已知
，求
的取值范围.
解答过程
设
，两边平方后整理得，
—2
+
=m2……①
又
，两边平方后整理得，
—2
+
=
……②
则①+②得，2-2
=
，由
[—1,1]，则0≤
≤4,
解得-
≤
≤
，所以
[-
,
].
讲解结束后，笔者给出了下面的变题.
变题：已知
其中
为锐角，求
的取值范围.
学生1的解答：
设
，两边平方后整理得，
—2
+
=m2……③
又
，两边平方后整理得，
—2
+
=
……④
则③+④得，2-2
=
，由
[—1,1]，则0≤
≤4,
解得-
≤
≤
，所以
[-
,
]，又因为
为锐角，且
＜0，则
，所以
，则
.
大多数学生都没有提出异议，笔者故意停在这里，让学生们继续思考，过了一会，
学生2的解答：老师，我发现
为锐角，则
则
＜1
所以上面的答案应该修改为
.
答案已经发生变化，不过这个结果显然不能令学生们信服.
学生3的解答：
从上面的结果来看，有个条件没有用上，即
，
则
，因为
，则可知
，进而可得
，所以应该有
，且根据
可知
的变化是同步变化的，也就是说
从0变大到
时，
从
相应的变大到
，所以，我有一个结论就是当
时，
，当
时，
，也就可得出
，回到学生1的解答中2-2
=
，
由
(
,
)，
可得
，以及m>0，
可以求出
.
学生3刚刚讲完
学生4站起来开始讲解他的解法.
学生3解法的答案我很认可，但在过程中有个关键的地方说的不清楚，即
两个角度在同步变化时，
为什么会在两个端点处取得相应的最值呢(或者说在这两个端点处趋向于最值呢),下面我给出了一个求解(
)范围的方法，供大家参考.
由
=
=－
(和差化积公式)
可得
，由学生3的解答,
且
的是
同步变化，所以
即
，
算出
，可得
，
又
所以可得
，
也就可以顺利得到
再用学生3的解答后半段做完就可以了.
学生4讲完以后，又有学生要求发言.
学生5的解答：
=
=－
，……⑤
设
=－2
=m，……⑥
用⑥式比⑤式可得到
，由学生4解答可知
，
可得2m=tan
,所以
学生6的解答：
设
，
，则
，因为
均为锐角
所以
=
，记
，
则
=
>0(因为
)，
所以
在
上单调递增，所以
，而
，
，所以
.
解至这里，所有学生的积极性都被调动起来了，还在热烈的讨论着变题的解法.也有不少学生给出其他变题.
二、学生变题
变题2：已知
其中
为钝角，求
的取值范围.
变题3：已知
，求
的取值范围.
变题4：求函数
的值域.
变题5：已知
求
的取值范围.
三、教后反思
1.引导学生反思结果的正确性培养学生思维的严密性
学生1的解答，看似很正确的一个解法，答案看上去也顺眼，要是没有进一步的反思，学生们也会懒得去深究，这时候需要教师留给学生充裕的时间去发现解题过程中的纰漏，再回顾题目中的所有条件是否都用上，所得到的答案是否切合实际条件，于是就有了学生2的解答，这个解答的结果缩小了学生1解答结果的范围，尽管是明显不合情不合理的一个结果，但对于正确解题的推进起到了非常重要的作用，这样才有了后来几位同学的正确的解答.引导学生反思解题结果的正确性和合理性，不仅可以得出本题的正确的结果，还可以让学生养成解题严谨的习惯和培养学生思维的严密性.
2.引导学生反思解题过程的合理性培养学生思维的批判性
在学生3的解题过程中，
取值范围的求解有点想当然了，结果的得到不严谨，不能令人信服，这时候要引导学生再回到题目的条件中去，或者充分发掘题目隐藏的条件，将想当然得到的结果用严谨的推理去证实，有些老师在解题教学过程中，经常会使用“只可意会不可言传”之类的话语搪塞过去，这样其实就错过了一次培养学生思维批判性的机会，在数学的教学过程中，不是“不可言传”，而是学生甚至是老师没有真正的意会而已，在教学过程中若能碰上这样的例子，反而是一次培养学生批判性思维的机会.
3.引导学生反思不同解题方法的优劣培养学生思维的广阔性
学生5的解法显然比较简单，是建立在学生4的基础之上，可以说是受学生4的启发而得到的一个简易解法，学生6的解法是建立在换元的基础上借助函数思想完成的一个解法.可以看出，对于同一道题,从不同的角度去分析研究,可能会得出不同的解题方法,从而得出不同的解法,这样通过不同的观察侧面,使学生的思维伸向不同的方向、不同的层次,以便冲破思维的单一性,突破知识的固定范围,从而可以培养学生思维的广阔性.
4.引导学生解题后反思是提高教学效率的重要途径
许多老师为了完成教学任务，一节课要讲完一张试卷或者十几道题，笔者任务与其让学生囫囵吞枣的听完许多题不如一次少讲一点，让学生彻底弄明白这些题目的前世今生，常见的各种解法，以及各种常见的变式题型，从而引导学生学会自我总结，自我进行变题的编制，最终达到提高教学效率的目标.
参考文献
[1]波利亚.数学解题[M].阎育苏译.北京：科学出版社，1982
[2]张建良.解题后反思在解题中的作用[J].中学数学月刊,2003,9
[3]连李斌.浅议题后反思对学生思维品质的培养[J].渭南师范学院学报，2004,19
[4]赵栋.从变式命题的构建谈思维品质的培养[J].中学数学月刊,2009,11
