填空题的解法

2014年6月11日

数学填空题的解法(1)

江苏省昆山中学缪林

数学填空题是高考数学的基本题型之一，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题。它往往是数学高考命题改革的试验田，常有创新型的填空题出现。由于填空题无需解题过程，没有中间分，稍有疏忽，丧失跆尽。尤其对江苏数学高考，只有两类题——填空题和解答题，而且填空题的占分高达70分，从近几年的高考数学均分统计，每年填空题的难易往往成为高考数学难易的晴雨表，故准确、巧妙、快捷地解答填空题是获取高考高分的基础。

填空题虽然不需要书写过程，但同样要注重函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想的应用；要注意观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等科学方法的运用。

解答填空题的常用方法有直接运算推理法外、赋值判断计算法、数形互助求解法、规律归纳发现法、建系定位坐标法 、数学直觉应用法等等。解题时，要在分析、判断的基础上选择合适的方法，进行准确的推理、运算，最后还要注意答案表达得准确、完整、简捷。

一、直接运算推理法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算、判断等过程，直接得到结论。它是解填空题最基本、最常用的方法，使用这种方法方法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

例1设 其中 为互相垂直的单位向量，又 ，则实数m = 。

分析

∵ ，∴

∴ ，

而 为互相垂直的单位向量，故可得 从而m=-2

另解：∵ ，∴ ，即有 ，下略

点评：求m的值——构造关于m的方程, 体现了“方程”的数学思想。

例2若函数f(x)=lg[x2+2(a-1)x+16]在区间(-∞,4)上减函数,则a的取值范围 .

分析设t= x2+2(a-1)x+16, 由条件可得函数t在区间(-∞,4)上为减函数，且在区间(-∞,4)上恒有t>0.

由此可得-(1-a)≥4，且x=4时，t≥0,由此可求得a≤-3且a≥-3，故a=-3

变：若区间改为 呢？（无解！）

点评：解题的关键是：直接利用复合函数的处理方法——构造内外函数，转化为对内函数的——二次函数的研究，体现了等价转化的数学思想. 特别注意不能忽视对函数定义域的考虑.

例3（2011第13题）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中 成公比为q的等比数列， 成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

分析由题意： ，

，

而 的最小值分别为1，2，3； 。

点评：直接化归为基本量是解决等差数列等比数列问题的基本方法.

例4记[x]表示不超过x最大整数. 若动点P(x, y)满足[x]2 +[y]2=25，则P点所在区域面积为 ．

分析由于[x],[y]表示整数，故([x],[y])有12组解(0,±5), (±3,±4) (±4,±3) (±5, 0)，而每组解对应的点P在直角坐标系中所在区域为一单位正方形，如([x],[y])为(-3,4)时， ,点P(x,y)所在的区域为一正方形，这样共有12个单位正方形，故P点所在区域面积为12.

点评：认真审题，实现合理转化——将条件直接转化为图形语言是解题的关键.

二、赋值判断计算法

当可以判断填空题结论唯一或其值为定值时，可通过取特值求得结论。所谓特值，可以对题中的参变量赋以特殊的数值、特殊角，也可以是特殊位置或特殊的模型等。用此法的关键是能整体上把握题意，断定可以应用特殊模型处理。

例1已知A≠B且A+B= ，则 的值为____________________.

分析：想法一、直接法：可直接化简变形为tan(A+B),或化归为角A,但变形化简过程有较大的难度；

想法二、特值法：由题意,可以判断结果为定值, 由此,可以赋A=π/3,B=0,容易得到结果为 .

点评：判定结论确定，故可以给字母赋以特值，以便轻松地获解.

例2已知等差数列{an}的公差d≠0, a1、a3、a 9成等比数列，则 的值为_______________. 分析想法一、直接法：化归为基本量：由a1、a3、a 9成等比数列，可得a1=d或d=0(舍去)，由此不难求得结论为13/16.

想法二、特值法：由题设，结论是确定的！而数列1,2,3,4….恰为满足条件的一个特殊的模型，由此可以轻松获得结论为13/16.

点评：判定结论确定，故可构造特殊模型，这样可以更轻松地获得结论.

例３如图， OM//AB，点P在由射线OM,线段OB、以及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 ,则①x∈ _；②当x=－ 时，y的取值范围___ __.

分析 想法一、直接法：可用平行四边形法则进行判断，但过程相当繁琐.

想法二、特值法：由题意可以判断无论A、B的位置如何，结论都应该是确定的.从而可以取直角坐标系中的单位向量(1,0)(0,1)为向量 ，这样(x,y)恰为如图所示的区域中的点P的坐标，由此容易得到出结论. ①（-∞,0）；②

点评：判定结论是确定的，故可以选取特殊位置，由此获得结论.

例４(2010江苏高考第13题)在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 =.

分析想法一、直接法：利用三角形中正、余弦定理进行变形化简

，

由正弦定理，得：上式=

过程较为复杂！

想法二、特值法：由题意该三角形不确定，但结论应为定值！故可选取特殊模型——等腰三角形。

取Ａ＝Ｂ，由条件可得 ，由此可得 从而

，由此可求tanC= ,tanA=tanB= 这样不难得到结论。

也可以这样求解： ， ， = 4。

点评：由于可以断定结论确定，故可取特殊模型轻松获解。但特殊模型的选择应以满足题设为前提，如本题不可选择正三角形.

三、数形互助求解法

数形互助思想, 就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.

实现数形互助, 常与以下内容有关：

①函数与图象的对应关系; ②曲线与方程的对应关系;③所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 文氏图、三角函数线、函数图像、方程的曲线等，都是常用的图形。

解题时, 要贯穿数形结合的观点, 不但要注意把图形数字化和把数式图形化, 而且还要留心观察图形的特点, 发掘题目中的隐含条件,充分利用图形的几何性质, 把数与形有机地结合在一起, 去探索问题的最佳解法．

例１ 对于每个实数x, 设f(x)是4x+1, x+2和－2x+4 三个函数中的最小值, f(x)的最大值 .8/3

分析方法一直接法：分类比较，转化为分段函数，分别求出各段的最小值，再作比较。过程较为繁琐；

方法二以形助数法：在同一直角坐标系中，画出三函数y=4x+1, y= x+2和y=－2x+4的图像，则函数f(x)即图中下边界所对应的函数，其最大值即为最高点A的纵坐标8/3。

点评：以形助数——使问题更直观，更简捷。

关键：增强意识，准确画图。

例２(2011.11)已知函数 , 则满足不等式 的x的范围是_ .

分析 方法一、直接法：通过1-x2与0的大小比较和2x与0的大小比较，确定分类讨论的三个分界点±1和0, 由此分四段将不等式 转化为关于x的不等式。过程比较繁琐。

方法二、借助图像，可见函数的单调性，由此将函数值的大小关系——纵坐标的大小关系，转化为横坐标的大小关系。

不难得到

变: 呢?

点评: 数形结合,分类讨论.

例３ 对任意x∈(0,1), 恒有2x2+(a+1)x-a(a-1)<0成立，则实数a的取值范围是_____________.

分析：法一、直接法：求解不等式，(x+a)(2x+1-a)<0, 由(0,1)是该解集的子集确定a的范围;

法二 设f(x)=2x2+(a+1)x-a(a-1), 由条件, 当x∈(0,1)时, 函数f(x)的图像总在x轴的下方, 结合图像可得,只需满足f(0)≤0且f(1)≤0即可.由此可得a≥3或a≤-1.

点评: 等价转化——将不等式问题转化为函数问题；数形互助——代数问题转化为几何问题。

例4 △ABC中，O为坐标原点，A(1,cosθ),B(sinθ,1), θ∈ ,则△AOB的最大值为 ，

此时θ的值为

分析：方法一、直接法：将面积表示为θ的函数，但过程相当繁琐；

方法二、以形助数法：在直角坐标系中，点A为线段EG上运动，点B在线段FG上运动，而OEGF为单位正方形，

SAOB=SOEGF-SAOE-SBOF-SABG= ,当 时，取得等号，故面积的最大值为1/2, 此时 .

点评：找出点A、B的轨迹，由此确定三角形所在的位置；采用间接法，将不易描述的三角形的面积问题转化几个特殊的图形的面积的计算，大大减少了思维量和计算量。形的意识和作用由此可见一斑。

小试牛刀：

1. =

分析(1)直接法；(2)特值法. (答案：1/2)

2.Ａ、Ｂ、Ｃ为锐角三角形ＡＢＣ的三内角，则点Ｐ(sinA-cosB, cosB-sinC)一定在第象限.

分析(1)直接法；(2)特值法.(答案：第四象限)

点评：若三角形ＡＢＣ为锐角三角形,则sinA>cosB;

若三角形ＡＢＣ为钝角三角形,Ｃ钝角, 则sinA<cosb.</cosb.

3.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a= .

分析(1)直接法：由条件f(-x)=f(x)恒成立, 可求a的值为-１；

(2)特值法：由f(-1)=f(1); 或由y=x为奇函数，可得g(x)=ex+ae-x奇函数, 由g(0)=0可以更为轻松地求得a= -1

4.如果函数 的图象关于直线 对称，那么

分析方法一、 ，其中 .

是已知函数的对称轴， ，

即 ，

于是 故应填1.

方法二、特值法 由条件有 ，由此可求得a= 1

5.不等式 （ ）的解集为 .

分析注意到 ，于是原不等式可变形为

而 ，所以 ，故应填

点评：利用指数函数的单调性，直接实施指数形式的转化。

6．设偶函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为 ．

分析 数形互助、分类讨论法：根据条件，可绘制草图如右所示.

故原不等式造价于

，而f(x)>1的解为x>2或x<-2, 同样也可得x≠0时f(x)<1的解，由此不难求得结论.