填空题的解法（2）
数学填空题的解法(2)
江苏省昆山中学缪林
四、建系定位坐标法:
所谓坐标法，就是通过建立适当的直角坐标系，将问题转化为直角坐标系中的数量的运算或位置关系的判断。这种方法使问题数量化,通常可以大大减少思维量和计算量.
D |
A |
B |
C |
P |
例１ 已知直角梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC= , AD=2, BC=1, P是腰CD上的动点，则 最小值为___ _ __。
分析： 建立如图所示的直角坐标系，则A（2,0）设C(0，t),则B(1,t)
D |
A |
B |
C |
P |
设P(0,y)(0≤y≤t)， 则 =（2，-y）, =(1,t-y)
∴ +3 =(5,3t-4y)
∴ ≥5
当且仅当y= t时，最小值为5
点评：通过坐标法，大胆引入变量，构造目标函数，将问题代数化，轻松获解.
例2(江苏2008.13)满足条件 的三角形 的面积的最大值
分析法一、用直接法：构造构造面积的函数：设BC＝ ，则AC＝ ，
C |
B |
Ａ |
根据面积公式得 = ，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有 解得 ，
故当 时取得 最大值 .——此法运算量较大，需要有很强的运算毅力和胆略！
法二、由于三角形的边AB确定, 面积的变化皆源于点Ｃ的变化。研究三角形的面积最值,只需研究AB边上高的最值, 由此可以研究C点的轨迹即可.
以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立直角坐标系。
由条件可求得点Ｃ的轨迹方程为(x-3)2+y2=8, 由此可得点C到x轴最大距离为 ,即就是ＡＢ边上高的最大值，故面积的最大值为 .
点评：解题的关键——坐标法的应用意识；注意——合理建立直角坐标系。
五、规律归纳发现法
通过对题设条件的特征进行观察和分析，采取列举、追踪、归纳等手段，猜想结论并验证结论，或在归纳过程中，发现其一般规律，并利用该规律获解。如涉及数列有关的问题，有时就可以通过列举，归纳、猜想、验证结论。
(例2图) |
例1已知数列{an}满足 （n∈N*），则a11= ．
分析：由a1=1,可得 由此可推得该数列是以3为周期的数列，从而a11= a2= .
点评：列举归纳是解决数列问题常用的方法
例２执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为72，则输入的 值为 ．
分析可用追踪法直接求得结论.
答案：61/8
例3 (2002年全国高考题)如果函数 ，那么
分析 从要求的表达式形式，猜想可能需探究 的结果！
而由条件可求 ，由此可得原式＝ .
点评：合理猜想，大胆尝试.
类似地， 2003年上海春招题题：
设 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，求
用倒序相加法，自然要去探求f(x)+f(1-x)结果.
六、数学直觉应用法
许多数学命题或结论也许目前无法作严格论证，但凭数学的直觉和意识，可以得知结论的正确性。在解答填空题有时也可用此法作适当的尝试。
例1 (06全国高考题)用长度分别为2,3,4,5,6的五根细木棒围成一个三角形(允许连接,不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为 。
分析:,面积最大时，三角形的周长一定为20.对于周长确定的三角形，当其为正三角形时，面积最大。而本题不可能为正三角形，由此可凭直觉，断定三边长越接近，则三角形的面积会越大。故只需考虑三边长为5,7,8; 6,7,7; 4,8,8等情形. 这在种情形下的面积分别为 ，故最大面积为
例2若正数a、b满足：ab=a+b+3,则ab的取值范围是_________。
分析：法一、直接法——可以利用基本不等式，或转化为函数问题求解；
法二、数学直觉——由于a、b在条件与结论中均是可轮换对称，故应该a=b时取得最小值。
由a=b，可求得a=b=3，由此可得ab≥9。
变：求a+b的最小值。
例３方程x3+2log3x=29的解集为 .
分析：此方程按常规方法不能获得其解。先观察得x=3是方程的一个根。还有其他根吗？
可以证明f(x)=x3+2log3x为增函数，故f(x)=29只有一个实根。
点评：估算也是一种重要的运算能力.
例4 已知△ABC中A,B为锐角，若 sin2A+sin2B=sin(A+B),则该三角形的形状一定
是 。(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”)
分析：若A＝B，则可推得sinA=cosB,由此可得A+B＝900, 由此可以猜想三角形为C直角的直角三角形.而当Ｃ为直角时，条件的确成立，故可以确定结论为直角三角形。
可作如下证明：由条件有sin2A+sin2B=sinAcosB+cosAsinB,
由此可得sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB –cosA)=0
若该三角形为锐角三角形，则有sinA>cosB, sinB >cosA,则上式不成立，
若该三角形为钝角三角形，则有sinA<cosa,则上式也不成立，故而该三角形应为直角三角形。<="" p="">
点评：分类讨论的意识在解题中的自觉应用; 常用结论的应用.
解答填空题 ，不能只会用直接法，要注重各种方法的选择——三思后行，良好的思考分析问题、解决问题的习惯对提高解答题的解题能力大有益处。
填空题的解答习惯和解法选择意识，不能留待临近高前夕才去培养，我们在平时的学习中就应该有意识地加强这类问题的解答能力的培养，增强数学意识和提升数学能力，才能以不变应万变，轻松自如、平和淡定地应对高考。
小试牛刀
1.(江苏高考2011(6))某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2 = .
分析 直接法,可求得方差为 ，也可以先把这组数都减去6再求方差，这样可使运算更为简捷.答案：
2.如图，线段 点 在线段 上，且 为线段 上一动点，点 绕点 旋转后与点 绕点 旋转后重合于点 记 面积为S，则S的最大值为 ▲ ．
分析 直接法：
法一、利用面积公式建立函数关系式
令CP=x，则PB =6－x=PD (0<x<="" p=""></x
法二、挖掘条件——PC+PD=6，由此可见点P的轨迹为一椭圆，从而易求P点到CD的最大距离为 ，因此可得面积的最大值为 ！（类似于2008年江苏卷第13题，先确定轨迹，再求相关最值）
答案：
３.设 其中 为互相垂直的单位向量，又 ，则实数m = 。
分析 方法一、
∵ ，∴
∴ ，
而 为互相垂直的单位向量，故可得 从而m=-2。
方法二、坐标法取 ，则转化为坐标运算.但两种方法比较，方法一的运算量更小点.
答案：-2
４.已知函数 ，若 ， ，则实数 大小顺序为 ▲ ．（用“<”连接）
分析(1)直接处理，通过比较大小，可以获得结论，较繁！
(2)特值法；
(3)数形互助法：由yn形式，可以联想到两点连线斜率公式. 由此不难得结论y1<y3<y2.
点评：解题的关键是联想发散！
５.在平面直角坐标中系x0y中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
解析：(1)直接法、设交点为 ， ，则
(2)可借助数学直觉，当直线为一、三象限角平分线时，ＰＱ最小.
答案：4
６.椭圆 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
分析(1)记椭圆的二焦点为 ，有
则
显然当 ，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
(2)数学直觉：当P短轴两端点时满足条件.
答案： 或
７.三角形ABC所在平面内一点P,满足 ,则三角形PAB与三角形PBC的面积比为 .
Ｐ |
Ｃ |
Ａ |
Ｂ |
分析: (1)直接法: 条件可化为 ,即得三点A,P,C共线,不难得出结论.
(2)特值法、坐标法：取以Ｂ为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长为１,并以Ｂ为坐标原点, 建立直角坐标系, 易求P(5/9,4/9), 从而面积比为4:５.
答案：4:５
